# Binomial Distribution Calculator

Enter the probability of success for a single trial, the number of trials, and the number of successes to calculate the binomial and cumulative probabilities of getting successful events.

## Probabilities:

Learn how we calculated this below

## How to Calculate a Binomial Distribution

In statistics, a binomial distribution is a probability distribution of the number of successes in a sequence of independent experiments or trials. The result of each experiment must be boolean, which means the result must be a yes/no or success/fail.

Unlike a normal distribution, a binomial distribution is a probability distribution for a discrete variable, while a normal distribution is a distribution for a continuous variable. Binomial distributions can also be skewed, while a normal distribution is always symmetrical.

Each experiment in the sequence is referred to as a trial, or more specifically, a Bernoulli trial. The sequence is sometimes referred to as a Bernoulli process, named for mathematician Jacob Bernoulli.

When the results of x success in the sequence of n trials with a probability p of success in a single trial are plotted, they form a distribution curve.

To help better understand the binomial distribution, let’s use the example of recording coin flips. Let’s say we ran a sequence of 100 coin flips and measured the number of times it landed on heads. If we ran this sequence 20,000 times and plotted the number of heads in each sequence, we might see a distribution like this one.

In this sequence, the number of trials n is 100, representing the 100 coin flips. The number of successes x is the number of times in the sequence that the coin landed on heads. The probability p is 0.5 since there is a 50% chance of landing on heads.

## How to Calculate a Binomial Probability

A binomial probability is a probability of getting exactly x successes in a sequence of n trials, where the probability p of success in each trial is the same. Each trial must be independent and mutually exclusive.

There are a few ways to calculate a binomial probability. The first method is to use a formula, and the second is to refer to a binomial probability distribution chart.

### Binomial Probability Formula

You can calculate the binomial probability using the binomial probability mass function:[1]

P\left ( x;n,p \right ) = \binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}
\text{Where:}
x = \text{number of occurrences of a specific outcome in n trials}
p = \text{probability of success in a single trial}
n = \text{number of trials}
\binom{n}{x} = \text{number of combinations}

The binomial probability mass function (PMF) states that the probability of x successes in a sequence of n independent trials with a probability of success in a single trial p is equal to the number of possible combinations of success times p to the power of x times 1 minus p to the power of n minus x.

You may also see the probability mass function referred to as the binomial probability density function (PDF). But, because a binomial distribution is a distribution of a discrete variable rather than a continuous variable, it is technically a mass function not a density function.

You can calculate the number of possible combinations using our combinations calculator. The number of combinations can also be found using the formula:

\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}

The number of combinations is equal to the number of events or trials n factorial divided by the number of successes x factorial times n minus x factorial. Our factorial calculator might be useful for this calculation.

### Binomial Probability Distribution Table

The binomial distribution table below shows the probability of getting x successes in a sample of n trials, with a probability of success in each trial p.

 p x 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 n = 1 0 0.950 0.900 0.800 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0.050 1 0.050 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 0.950 n = 2 0 0.903 0.810 0.640 0.490 0.360 0.250 0.160 0.090 0.040 0.010 0.003 1 0.095 0.180 0.320 0.420 0.480 0.500 0.480 0.420 0.320 0.180 0.095 2 0.003 0.010 0.040 0.090 0.160 0.250 0.360 0.490 0.640 0.810 0.903 n = 3 0 0.857 0.729 0.512 0.343 0.216 0.125 0.064 0.027 0.008 0.001 0.000 1 0.135 0.243 0.384 0.441 0.432 0.375 0.288 0.189 0.096 0.027 0.007 2 0.007 0.027 0.096 0.189 0.288 0.375 0.432 0.441 0.384 0.243 0.135 3 0.000 0.001 0.008 0.027 0.064 0.125 0.216 0.343 0.512 0.729 0.857 n = 4 0 0.815 0.656 0.410 0.240 0.130 0.063 0.026 0.008 0.002 0.000 0.000 1 0.171 0.292 0.410 0.412 0.346 0.250 0.154 0.076 0.026 0.004 0.000 2 0.014 0.049 0.154 0.265 0.346 0.375 0.346 0.265 0.154 0.049 0.014 3 0.000 0.004 0.026 0.076 0.154 0.250 0.346 0.412 0.410 0.292 0.171 4 0.000 0.000 0.002 0.008 0.026 0.063 0.130 0.240 0.410 0.656 0.815 n = 5 0 0.774 0.590 0.328 0.168 0.078 0.031 0.010 0.002 0.000 0.000 0.000 1 0.204 0.328 0.410 0.360 0.259 0.156 0.077 0.028 0.006 0.000 0.000 2 0.021 0.073 0.205 0.309 0.346 0.313 0.230 0.132 0.051 0.008 0.001 3 0.001 0.008 0.051 0.132 0.230 0.313 0.346 0.309 0.205 0.073 0.021 4 0.000 0.000 0.006 0.028 0.077 0.156 0.259 0.360 0.410 0.328 0.204 5 0.000 0.000 0.000 0.002 0.010 0.031 0.078 0.168 0.328 0.590 0.774 n = 6 0 0.735 0.531 0.262 0.118 0.047 0.016 0.004 0.001 0.000 0.000 0.000 1 0.232 0.354 0.393 0.303 0.187 0.094 0.037 0.010 0.002 0.000 0.000 2 0.031 0.098 0.246 0.324 0.311 0.234 0.138 0.060 0.015 0.001 0.000 3 0.002 0.015 0.082 0.185 0.276 0.313 0.276 0.185 0.082 0.015 0.002 4 0.000 0.001 0.015 0.060 0.138 0.234 0.311 0.324 0.246 0.098 0.031 5 0.000 0.000 0.002 0.010 0.037 0.094 0.187 0.303 0.393 0.354 0.232 6 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 0.047 0.118 0.262 0.531 0.735 n = 7 0 0.698 0.478 0.210 0.082 0.028 0.008 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.257 0.372 0.367 0.247 0.131 0.055 0.017 0.004 0.000 0.000 0.000 2 0.041 0.124 0.275 0.318 0.261 0.164 0.077 0.025 0.004 0.000 0.000 3 0.004 0.023 0.115 0.227 0.290 0.273 0.194 0.097 0.029 0.003 0.000 4 0.000 0.003 0.029 0.097 0.194 0.273 0.290 0.227 0.115 0.023 0.004 5 0.000 0.000 0.004 0.025 0.077 0.164 0.261 0.318 0.275 0.124 0.041 6 0.000 0.000 0.000 0.004 0.017 0.055 0.131 0.247 0.367 0.372 0.257 7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.008 0.028 0.082 0.210 0.478 0.698 n = 8 0 0.663 0.430 0.168 0.058 0.017 0.004 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.279 0.383 0.336 0.198 0.090 0.031 0.008 0.001 0.000 0.000 0.000 2 0.051 0.149 0.294 0.296 0.209 0.109 0.041 0.010 0.001 0.000 0.000 3 0.005 0.033 0.147 0.254 0.279 0.219 0.124 0.047 0.009 0.000 0.000 4 0.000 0.005 0.046 0.136 0.232 0.273 0.232 0.136 0.046 0.005 0.000 5 0.000 0.000 0.009 0.047 0.124 0.219 0.279 0.254 0.147 0.033 0.005 6 0.000 0.000 0.001 0.010 0.041 0.109 0.209 0.296 0.294 0.149 0.051 7 0.000 0.000 0.000 0.001 0.008 0.031 0.090 0.198 0.336 0.383 0.279 8 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.017 0.058 0.168 0.430 0.663 n = 9 0 0.630 0.387 0.134 0.040 0.010 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.299 0.387 0.302 0.156 0.060 0.018 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 2 0.063 0.172 0.302 0.267 0.161 0.070 0.021 0.004 0.000 0.000 0.000 3 0.008 0.045 0.176 0.267 0.251 0.164 0.074 0.021 0.003 0.000 0.000 4 0.001 0.007 0.066 0.172 0.251 0.246 0.167 0.074 0.017 0.001 0.000 5 0.000 0.001 0.017 0.074 0.167 0.246 0.251 0.172 0.066 0.007 0.001 6 0.000 0.000 0.003 0.021 0.074 0.164 0.251 0.267 0.176 0.045 0.008 7 0.000 0.000 0.000 0.004 0.021 0.070 0.161 0.267 0.302 0.172 0.063 8 0.000 0.000 0.000 0.000 0.004 0.018 0.060 0.156 0.302 0.387 0.299 9 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.010 0.040 0.134 0.387 0.630 n = 10 0 0.599 0.349 0.107 0.028 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.315 0.387 0.268 0.121 0.040 0.010 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 2 0.075 0.194 0.302 0.233 0.121 0.044 0.011 0.001 0.000 0.000 0.000 3 0.010 0.057 0.201 0.267 0.215 0.117 0.042 0.009 0.001 0.000 0.000 4 0.001 0.011 0.088 0.200 0.251 0.205 0.111 0.037 0.006 0.000 0.000 5 0.000 0.001 0.026 0.103 0.201 0.246 0.201 0.103 0.026 0.001 0.000 6 0.000 0.000 0.006 0.037 0.111 0.205 0.251 0.200 0.088 0.011 0.001 7 0.000 0.000 0.001 0.009 0.042 0.117 0.215 0.267 0.201 0.057 0.010 8 0.000 0.000 0.000 0.001 0.011 0.044 0.121 0.233 0.302 0.194 0.075 9 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.010 0.040 0.121 0.268 0.387 0.315 10 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.006 0.028 0.107 0.349 0.599 n = 11 0 0.569 0.314 0.086 0.020 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.329 0.384 0.236 0.093 0.027 0.005 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 2 0.087 0.213 0.295 0.200 0.089 0.027 0.005 0.001 0.000 0.000 0.000 3 0.014 0.071 0.221 0.257 0.177 0.081 0.023 0.004 0.000 0.000 0.000 4 0.001 0.016 0.111 0.220 0.236 0.161 0.070 0.017 0.002 0.000 0.000 5 0.000 0.002 0.039 0.132 0.221 0.226 0.147 0.057 0.010 0.000 0.000 6 0.000 0.000 0.010 0.057 0.147 0.226 0.221 0.132 0.039 0.002 0.000 7 0.000 0.000 0.002 0.017 0.070 0.161 0.236 0.220 0.111 0.016 0.001 8 0.000 0.000 0.000 0.004 0.023 0.081 0.177 0.257 0.221 0.071 0.014 9 0.000 0.000 0.000 0.001 0.005 0.027 0.089 0.200 0.295 0.213 0.087 10 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.005 0.027 0.093 0.236 0.384 0.329 11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.004 0.020 0.086 0.314 0.569 n = 12 0 0.540 0.282 0.069 0.014 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.341 0.377 0.206 0.071 0.017 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 0.099 0.230 0.283 0.168 0.064 0.016 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 3 0.017 0.085 0.236 0.240 0.142 0.054 0.012 0.001 0.000 0.000 0.000 4 0.002 0.021 0.133 0.231 0.213 0.121 0.042 0.008 0.001 0.000 0.000 5 0.000 0.004 0.053 0.158 0.227 0.193 0.101 0.029 0.003 0.000 0.000 6 0.000 0.000 0.016 0.079 0.177 0.226 0.177 0.079 0.016 0.000 0.000 7 0.000 0.000 0.003 0.029 0.101 0.193 0.227 0.158 0.053 0.004 0.000 8 0.000 0.000 0.001 0.008 0.042 0.121 0.213 0.231 0.133 0.021 0.002 9 0.000 0.000 0.000 0.001 0.012 0.054 0.142 0.240 0.236 0.085 0.017 10 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.016 0.064 0.168 0.283 0.230 0.099 11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.017 0.071 0.206 0.377 0.341 12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.014 0.069 0.282 0.540 n = 13 0 0.513 0.254 0.055 0.010 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.351 0.367 0.179 0.054 0.011 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 0.111 0.245 0.268 0.139 0.045 0.010 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 3 0.021 0.100 0.246 0.218 0.111 0.035 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000 4 0.003 0.028 0.154 0.234 0.184 0.087 0.024 0.003 0.000 0.000 0.000 5 0.000 0.006 0.069 0.180 0.221 0.157 0.066 0.014 0.001 0.000 0.000 6 0.000 0.001 0.023 0.103 0.197 0.209 0.131 0.044 0.006 0.000 0.000 7 0.000 0.000 0.006 0.044 0.131 0.209 0.197 0.103 0.023 0.001 0.000 8 0.000 0.000 0.001 0.014 0.066 0.157 0.221 0.180 0.069 0.006 0.000 9 0.000 0.000 0.000 0.003 0.024 0.087 0.184 0.234 0.154 0.028 0.003 10 0.000 0.000 0.000 0.001 0.006 0.035 0.111 0.218 0.246 0.100 0.021 11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.010 0.045 0.139 0.268 0.245 0.111 12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.011 0.054 0.179 0.367 0.351 13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.010 0.055 0.254 0.513 n = 14 0 0.488 0.229 0.044 0.007 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.359 0.356 0.154 0.041 0.007 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 0.123 0.257 0.250 0.113 0.032 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 3 0.026 0.114 0.250 0.194 0.085 0.022 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 4 0.004 0.035 0.172 0.229 0.155 0.061 0.014 0.001 0.000 0.000 0.000 5 0.000 0.008 0.086 0.196 0.207 0.122 0.041 0.007 0.000 0.000 0.000 6 0.000 0.001 0.032 0.126 0.207 0.183 0.092 0.023 0.002 0.000 0.000 7 0.000 0.000 0.009 0.062 0.157 0.209 0.157 0.062 0.009 0.000 0.000 8 0.000 0.000 0.002 0.023 0.092 0.183 0.207 0.126 0.032 0.001 0.000 9 0.000 0.000 0.000 0.007 0.041 0.122 0.207 0.196 0.086 0.008 0.000 10 0.000 0.000 0.000 0.001 0.014 0.061 0.155 0.229 0.172 0.035 0.004 11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.022 0.085 0.194 0.250 0.114 0.026 12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.006 0.032 0.113 0.250 0.257 0.123 13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.007 0.041 0.154 0.356 0.359 14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.007 0.044 0.229 0.488 n = 15 0 0.463 0.206 0.035 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.366 0.343 0.132 0.031 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 0.135 0.267 0.231 0.092 0.022 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 3 0.031 0.129 0.250 0.170 0.063 0.014 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 4 0.005 0.043 0.188 0.219 0.127 0.042 0.007 0.001 0.000 0.000 0.000 5 0.001 0.010 0.103 0.206 0.186 0.092 0.024 0.003 0.000 0.000 0.000 6 0.000 0.002 0.043 0.147 0.207 0.153 0.061 0.012 0.001 0.000 0.000 7 0.000 0.000 0.014 0.081 0.177 0.196 0.118 0.035 0.003 0.000 0.000 8 0.000 0.000 0.003 0.035 0.118 0.196 0.177 0.081 0.014 0.000 0.000 9 0.000 0.000 0.001 0.012 0.061 0.153 0.207 0.147 0.043 0.002 0.000 10 0.000 0.000 0.000 0.003 0.024 0.092 0.186 0.206 0.103 0.010 0.001 11 0.000 0.000 0.000 0.001 0.007 0.042 0.127 0.219 0.188 0.043 0.005 12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.014 0.063 0.170 0.250 0.129 0.031 13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.022 0.092 0.231 0.267 0.135 14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.031 0.132 0.343 0.366 15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.035 0.206 0.463 n = 16 0 0.440 0.185 0.028 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.371 0.329 0.113 0.023 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 0.146 0.275 0.211 0.073 0.015 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 3 0.036 0.142 0.246 0.146 0.047 0.009 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 4 0.006 0.051 0.200 0.204 0.101 0.028 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 5 0.001 0.014 0.120 0.210 0.162 0.067 0.014 0.001 0.000 0.000 0.000 6 0.000 0.003 0.055 0.165 0.198 0.122 0.039 0.006 0.000 0.000 0.000 7 0.000 0.000 0.020 0.101 0.189 0.175 0.084 0.019 0.001 0.000 0.000 8 0.000 0.000 0.006 0.049 0.142 0.196 0.142 0.049 0.006 0.000 0.000 9 0.000 0.000 0.001 0.019 0.084 0.175 0.189 0.101 0.020 0.000 0.000 10 0.000 0.000 0.000 0.006 0.039 0.122 0.198 0.165 0.055 0.003 0.000 11 0.000 0.000 0.000 0.001 0.014 0.067 0.162 0.210 0.120 0.014 0.001 12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.004 0.028 0.101 0.204 0.200 0.051 0.006 13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.009 0.047 0.146 0.246 0.142 0.036 14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.015 0.073 0.211 0.275 0.146 15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.023 0.113 0.329 0.371 16 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.028 0.185 0.440 n = 17 0 0.418 0.167 0.023 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.374 0.315 0.096 0.017 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 0.158 0.280 0.191 0.058 0.010 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 3 0.041 0.156 0.239 0.125 0.034 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 4 0.008 0.060 0.209 0.187 0.080 0.018 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 5 0.001 0.017 0.136 0.208 0.138 0.047 0.008 0.001 0.000 0.000 0.000 6 0.000 0.004 0.068 0.178 0.184 0.094 0.024 0.003 0.000 0.000 0.000 7 0.000 0.001 0.027 0.120 0.193 0.148 0.057 0.009 0.000 0.000 0.000 8 0.000 0.000 0.008 0.064 0.161 0.185 0.107 0.028 0.002 0.000 0.000 9 0.000 0.000 0.002 0.028 0.107 0.185 0.161 0.064 0.008 0.000 0.000 10 0.000 0.000 0.000 0.009 0.057 0.148 0.193 0.120 0.027 0.001 0.000 11 0.000 0.000 0.000 0.003 0.024 0.094 0.184 0.178 0.068 0.004 0.000 12 0.000 0.000 0.000 0.001 0.008 0.047 0.138 0.208 0.136 0.017 0.001 13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.018 0.080 0.187 0.209 0.060 0.008 14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.034 0.125 0.239 0.156 0.041 15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.010 0.058 0.191 0.280 0.158 16 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.017 0.096 0.315 0.374 17 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.023 0.167 0.418 n = 18 0 0.397 0.150 0.018 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.376 0.300 0.081 0.013 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 0.168 0.284 0.172 0.046 0.007 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 3 0.047 0.168 0.230 0.105 0.025 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 4 0.009 0.070 0.215 0.168 0.061 0.012 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 5 0.001 0.022 0.151 0.202 0.115 0.033 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 6 0.000 0.005 0.082 0.187 0.166 0.071 0.015 0.001 0.000 0.000 0.000 7 0.000 0.001 0.035 0.138 0.189 0.121 0.037 0.005 0.000 0.000 0.000 8 0.000 0.000 0.012 0.081 0.173 0.167 0.077 0.015 0.001 0.000 0.000 9 0.000 0.000 0.003 0.039 0.128 0.185 0.128 0.039 0.003 0.000 0.000 10 0.000 0.000 0.001 0.015 0.077 0.167 0.173 0.081 0.012 0.000 0.000 11 0.000 0.000 0.000 0.005 0.037 0.121 0.189 0.138 0.035 0.001 0.000 12 0.000 0.000 0.000 0.001 0.015 0.071 0.166 0.187 0.082 0.005 0.000 13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.004 0.033 0.115 0.202 0.151 0.022 0.001 14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.012 0.061 0.168 0.215 0.070 0.009 15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.025 0.105 0.230 0.168 0.047 16 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.007 0.046 0.172 0.284 0.168 17 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.013 0.081 0.300 0.376 18 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.018 0.150 0.397 n = 19 0 0.377 0.135 0.014 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.377 0.285 0.068 0.009 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 0.179 0.285 0.154 0.036 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 3 0.053 0.180 0.218 0.087 0.017 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 4 0.011 0.080 0.218 0.149 0.047 0.007 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 5 0.002 0.027 0.164 0.192 0.093 0.022 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 6 0.000 0.007 0.095 0.192 0.145 0.052 0.008 0.001 0.000 0.000 0.000 7 0.000 0.001 0.044 0.153 0.180 0.096 0.024 0.002 0.000 0.000 0.000 8 0.000 0.000 0.017 0.098 0.180 0.144 0.053 0.008 0.000 0.000 0.000 9 0.000 0.000 0.005 0.051 0.146 0.176 0.098 0.022 0.001 0.000 0.000 10 0.000 0.000 0.001 0.022 0.098 0.176 0.146 0.051 0.005 0.000 0.000 11 0.000 0.000 0.000 0.008 0.053 0.144 0.180 0.098 0.017 0.000 0.000 12 0.000 0.000 0.000 0.002 0.024 0.096 0.180 0.153 0.044 0.001 0.000 13 0.000 0.000 0.000 0.001 0.008 0.052 0.145 0.192 0.095 0.007 0.000 14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.022 0.093 0.192 0.164 0.027 0.002 15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.007 0.047 0.149 0.218 0.080 0.011 16 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.017 0.087 0.218 0.180 0.053 17 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.036 0.154 0.285 0.179 18 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.009 0.068 0.285 0.377 19 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.014 0.135 0.377 n = 20 0 0.358 0.122 0.012 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 0.377 0.270 0.058 0.007 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2 0.189 0.285 0.137 0.028 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 3 0.060 0.190 0.205 0.072 0.012 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 4 0.013 0.090 0.218 0.130 0.035 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 5 0.002 0.032 0.175 0.179 0.075 0.015 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 6 0.000 0.009 0.109 0.192 0.124 0.037 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 7 0.000 0.002 0.055 0.164 0.166 0.074 0.015 0.001 0.000 0.000 0.000 8 0.000 0.000 0.022 0.114 0.180 0.120 0.035 0.004 0.000 0.000 0.000 9 0.000 0.000 0.007 0.065 0.160 0.160 0.071 0.012 0.000 0.000 0.000 10 0.000 0.000 0.002 0.031 0.117 0.176 0.117 0.031 0.002 0.000 0.000 11 0.000 0.000 0.000 0.012 0.071 0.160 0.160 0.065 0.007 0.000 0.000 12 0.000 0.000 0.000 0.004 0.035 0.120 0.180 0.114 0.022 0.000 0.000 13 0.000 0.000 0.000 0.001 0.015 0.074 0.166 0.164 0.055 0.002 0.000 14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.037 0.124 0.192 0.109 0.009 0.000 15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.015 0.075 0.179 0.175 0.032 0.002 16 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.035 0.130 0.218 0.090 0.013 17 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.012 0.072 0.205 0.190 0.060 18 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.028 0.137 0.285 0.189 19 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.007 0.058 0.270 0.377 20 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.012 0.122 0.358

## How to Calculate Cumulative Binomial Probabilities

The binomial probability formula is useful to find the probability of exactly x successes in the sequence of trials. However, sometimes you want to know the probability of less than or equal to x successes, for instance.

This is referred to as the cumulative binomial probability, and you can find it using a cumulative distribution function.

### Binomial Cumulative Distribution Function

The cumulative distribution function to calculate cumulative binomial probabilities is:[2]

F\left ( x;n,p \right ) = \sum_{i=0}^{x} \binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}

This is the binomial CDF that the calculator above uses to calculate the probabilities of getting less than or greater than x in the distribution.

A binomial distribution is very similar to a Poisson distribution, but while a binomial distribution counts discrete occurrences among discrete trials, a Poisson distribution counts discrete occurrences among a continuous domain.

### How do you know if something is a binomial distribution?

A binomial distribution will have results that will be a yes/no or a success/fail.

### When would you use a binomial distribution?

You would use a binomial distribution when there can only be two outcomes, success or fail.

### What makes something not binomial?

Something would be not binomial if you could have more than two outcomes.

### Is rolling a dice a binomial distribution?

No, rolling a dice is a normal distribution.

## References

1. Mohr, D., Binomial Probability Distribution, Science Guide, https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/binomial-probability-distribution
2. National Institute of Standards and Technology, Exploratory Data Analysis - 1.3.6.6.18 Binomial Distribution, https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366i.htm